Читать книгу Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни онлайн

32 страница из 48

num = Δ + Δ + Δ.

Гаусс открыл следующий весьма замечательный факт: любое число может быть записано в виде суммы не более трех треугольных чисел. Например, 1796 = 10 + 561 + 1225. Наблюдения такого рода могут порождать очень полезные шорткаты: вместо того чтобы доказывать, что некоторое утверждение справедливо для всех чисел, может быть достаточно доказать его для треугольных чисел, а затем использовать открытое Гауссом правило, что любое число есть сумма трех треугольных чисел.

Вот еще одна задача. Назовите следующее число в последовательности:

1, 2, 4, 8, 16 …

Тоже ничего сложного. Следующее число – 32. На каждом шаге члены этой последовательности удваиваются. Эта зависимость, которую называют экспоненциальным ростом, управляет ростом многих величин; поэтому важно понимать, как работают такого рода паттерны. К примеру, поначалу последовательность выглядит вполне невинно. Именно так, видимо, считал индийский царь, согласившийся заплатить создателю шахмат ту цену, которую тот просил за свою игру. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно рисовое зерно, а затем удваивать число рисинок на каждой следующей клетке. Первый ряд клеток выглядел вполне безобидно. На нем оказалось всего лишь 1 + 2 + + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255 зерен риса. Этого едва хватило бы и на одно суши.