Читать книгу Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни онлайн

34 страница из 48

Казалось бы, это только осложняет мне жизнь. Но посмотрите, что я сделаю дальше. Раскроем скобки:

= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… + 2⁶³ + 2⁶⁴.

Теперь применим одну хитрость. Я собираюсь вычесть из этого выражения Х. На первый взгляд кажется, что тогда мы вернемся туда же, откуда начали: 2Х – Х = Х. Какой в этом толк? Чудо происходит тогда, когда я заменяю 2Х и Х на суммы, которые я выписал выше:

2X – X = (2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… + 2⁶³ + 2⁶⁴) – (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2 ⁶² + 2⁶³).

Почти все слагаемые взаимно уничтожаются! Не уничтожаются только 2⁶⁴ из первой части и 1 из второй. Таким образом, у нас остается только следующее выражение:

X = 2X – X = 2⁶⁴ – 1.

Вместо множества вычислений нужно выполнить всего одно – и мы узнаем, чему равно число зерен риса, которые нужно было собрать царю, чтобы заплатить изобретателю шахмат:

18 446 744 073 709 551 615.

Оно превышает количество риса, выращенного на всей нашей планете за последнее тысячелетие. Мораль здесь та, что иногда для избавления от тяжелой работы можно заняться другой тяжелой работой, после которой задачу оказывается гораздо легче проанализировать.